新潟市医師会報より
正20面体のアデノウイルスは数学家か？
阿部 志郎
世間を騒がしている新型コロナやインフルエンザなどのウイルスを調べていたら、アデノウイルスが正20面体の形態であるとわかった。
これが正多面体で最大の面数、対称軸が多く最大容量で活動性にも優れていると思い、数学的検索をしてみる事にした。約35億年間進化して辿りついた結果と思いつつ…
“数学的代数計算による、正20面体を超える正多面体は存在しない事への証明”
正多面体の各面を正p角形、各頂点に集まる面の数をqとする。
一般にp角の内角の和は（p－2）×180度である。（p，qは共に整数）
p角形の一つの頂点と各頂点を結ぶとp角形内に（p－2）個の三角形が出来るから、三角形の内角の和は180度なのでp角形の内角の和は（p－2）×180度となる。
つまり、正多角形の各頂点の内角は（p－2）×180度をpで割ったものとなる。
正多面体の一つの頂点にはq個の正p角形が集まるので、このq個分の角の和は｛（p－2）×180度／p｝×qとなり、これは360度より小さい必要がある。（360度では平面になり、立体にはならない）
従って、以下の不等式が成り立つ。
｛（p－2）×180度／p｝×q＜360度
変形して…（p－2）×q＜2p
→ pq－2q－2p＋4＜4
整理すると、（p－2）（q－2）＜4となる…①
この不等式①を満たす正数、pとqの組み合わせは以下の5種類のみである。
正X面体…（p，q）として、
正A面体…（3，3），正B面体…（4，3），
正C面体…（3，4），正D面体…（5，3），
正E面体…（3，5）
一つの正多面体Xで頂点の数をv（vertex）、辺の数をe（edge）、面の数をf（face）おくと、正多面体に於けるオイラーの定理は
v－e＋f＝2…②であるから、
vを頂点の数：正p角形の頂点数×面数f／各頂点に集まる面数qである。
eを辺の数：正p角形の数×面数f／2（各正p角形1辺の重複が立体の1辺を形成）
関係式はv＝pf／q，e＝pf／2と表示できる。
②にv，eを各々に代入して
f｛（p／q）－（p／2）＋1｝＝2…③
実際③にp，qを代入して確かめてみる。
正A面体：p＝3，q＝3を代入、
f｛（3／3）－（3／2）＋1｝＝2，f＝4
正B面体：p＝4，q＝3を代入、
f｛（4／3）－（4／2）＋1｝＝2，f＝6
正C面体：p＝3，q＝4を代入、
f｛（3／4）－（3／2）＋1｝＝2，f＝8
正D面体：p＝5，q＝3を代入、
f｛（5／3）－（5／2）＋1｝＝2，f＝12
正E面体：p＝3，q＝5を代入、
f｛（3／5）－（3／2）＋1｝＝2，f＝20
f＝20が最大値なので正20面体が最大である。それ以上の正多面体は存在しない。
補足です。
多面体におけるオイラーの定理とは…
＊線分の図について考える。
一つの線分で両端の点を頂点v，線分を辺eとする（この発想が素晴らしい）
一つの樹形があった時、端の枝にある線分を一つ取った樹形を作る。
すると、vもeも一つずつ減るからv－eの値は変わらない。
最後までこの操作を続けて最後に一つの線分になってもv－e＝1で，同じである。
＊線分と面の図
線分の図に、それが囲む面を含めて考える。
頂点v，辺e，面fとする。三角形と四角形が線分で結ばれている図形を考える。
図形の外側の辺を一つ取り外し（頂点は残す），これを辺にもつ面も同時に取り除くと頂点の数は変わらず辺の数は一つ減り、面の数は一つ減るからv－e＋fの値は変わらない。
この操作を繰り返し遂に樹形になり、v－e＝1，f＝0になる。
よってv－e＋f＝1である。もとの図についてもv－e＋f＝1となる。
＊多面体におけるオイラーの定理
一つの多面体Pで頂点数をv、辺数をe、面数をfとする。
多面体P（たとえば立方体について考える）から一つの面を取り除く。
出来た穴を広げて残りの面全体を、繋がり具合を変えずに平面上の線分と面の関係（二次元化）にする。つまり：v－e＋（f－1）＝1
多面体のオイラーの定理は、v－e＋f＝2となる。
（令和7年10月号）
